补充：
不客气地说，题主的补充内容坐实了题主对艾滋病以及流行病学缺乏足够了解这一点……太多条件都是出自题主无根据的臆想。
用知乎的说法，就是“读书太少，想得太多。”嗯，仅仅是“想”而非“思考”。
诚然，讨论这个问题实际上涉及流行病学，跟数学关系还是挺大的。但是……
如果传染人数大于一人，那这个病就会扩散；如果小于一人，那这个病就会灭绝。这个想法其实挺荒谬的……要是疾病的传播是个这么单纯的模型，流行病学就不必存在了。
而且题主你真的有看我们的回答吗……？
一个被感染者污染的针头可以感染几名吸毒者？一个患病的性工作者可以感染几名嫖娼者？题主为什么认为“正常情况下一个艾滋病患者死前的传染人数应该小于一人”呢？
还有，如果想问数学问题，就算不把例子改改，至少把标签改改吧……题主你看这五个标签哪个跟数学有关了？没注意提问方式，自然难以得到想看的答案。
—————原回答—————
题主对艾滋病的了解太少，似乎都不知道艾滋病的主要传播途径。
很多传染病（按题主的说法，主要是致死性的那些），会经历这么几个阶段：
病原体入侵——潜伏期/窗口期/前驱期（无临床表现或轻微临床表现，化验检查可以不表现出异常，有些传染病可能没有这个阶段），然后才开始出现各种各样的典型症状艾滋病感染者，最后进入转归，痊愈/病亡/后遗症……当然有些可以不表现症状直接变成携带者，最广为人知的，乙肝。
对于艾滋病而言，从出现临床症状，到患者最后死亡艾滋病感染者，中间经历的时间不定，长的可以达数十年。
而且艾滋病本身不致死，最终导致患者死亡的是因为免疫功能缺乏导致的各种其他问题，比如恶性肿瘤、其他病原体的感染（有些是很有特征性的，比如成人出现卡氏肺孢子虫病，相信多数医生第一反应都是“不会是艾滋吧……？”）。这几年、十几年的时间内，就有可能把艾滋病毒播散出去。
说“艾滋病患者都活不了太长时间”是不确切的，顶多是“出现症状之后”活不了太长时间。
而且我很奇怪为什么题主会得出“那顶多就是他的家人会得病吧”这个结论（要把“家人”改成“爱人”还尚可理解）。日常接触是不会传染艾滋病的，艾滋病的三大传播途径——血液、母婴和性传播，近年来随着义务献血的深化，“血制品传播”渐渐变弱，“血液传播”中吸毒（多数是静脉注射共用针头）渐渐变成了一个更常见的原因，滥交等原因也慢慢变得重要起来了，有些地方甚至以性传播为主要的传播方式了。
在患者感染之后、发现自己已经感染之前，很可能仍在继续共用针头注射毒品或者滥交（包括卖淫也包括嫖娼，其实严格来说约×也得算，男同性恋也是高危人群），甚至发现自己感染之后仍在继续高危行为，那么艾滋病在这个时间内就很容易被传染给其他人了。
